لماذا تنمو الطاقة الحركية مع مربع السرعة لا بشكل خطي؟

سؤال نُشر على Physics Stack Exchange عام 2011 لا يزال يجذب القراء. إذا كانت الطاقة الحركية لجسم متحرك تساوي ½mv²، فلماذا تنمو مع مربع السرعة لا بشكل خطي؟ ولماذا يكلّف التسارع من 1 م/ث إلى 2 م/ث طاقة أكبر من الانتقال من السكون إلى 1 م/ث؟ الأجوبة التي جمعت آلاف الأصوات تعرض الصيغة لا كقاعدة اعتباطية بل كنتيجة للتناظر.

التناظر بدل القوة مضروبة في المسافة

يرى الجواب الأعلى تصويتًا أن إعادة صياغة المسألة بعبارة «الشغل يساوي القوة مضروبة في المسافة» تنقل الغموض فقط: إذ يمكن بعدها السؤال عن سبب كون الشغل قوة في مسافة. والطريق الأكثر جوهرية، بحسب الجواب، هو ثبات قوانين الفيزياء تحت تحويلات غاليليو — أي أن القوانين تبدو نفسها في قطار متحرك وعلى الرصيف.

يعرّف الجواب الطاقة الحركية تعريفًا ملموسًا: هي الحرارة التي تولّدها كرة الطين عند اصطدامها بجدار، وتُقاس بميزان حرارة. فإلقاء كرتين متماثلتين جنبًا إلى جنب يضاعف الحرارة، لذا تتناسب الطاقة مع الكتلة. اصطدم كرتا طين متماثلتان وجهاً لوجه بسرعة v: تتوقفان معًا وتنطلق حرارة مقدارها 2mE(v). راقب التصادم نفسه من قطار يتحرك مع إحدى الكرتين: تبدأ هذه ساكنة، وتصل الثانية بسرعة 2v، ويمضي الجسمان الملتصقان بسرعة v. ويعطي حفظ الطاقة mE(2v) = 2mE(v) + 2mE(v)، أي E(2v) = 4E(v). مضاعفة السرعة تضاعف الطاقة أربع مرات.

يستبدل حجة قريبة الميكانيكا بالاستاتيكا: الطاقة الكامنة قرب سطح الأرض خطية في الارتفاع — قانون الرافعة لأرخميدس — والأجسام الساقطة تتحرك بتسارع منتظم، لذا فإن المقدار المحفوظ إلى جانب الكتلة مضروبة في الارتفاع هو مربع السرعة. وقد أظهر هويغنس ببندولات متصادمة أن التصادم الديناميكي لا يمكن أن يرفع مركز الكتلة، وهو صياغة مبكرة لحفظ الطاقة.

الزخم هو المقدار الخطي

يفصل جواب آخر عالي التقييم بين مفهومين يخلط بينهما المبتدئون كثيرًا. المقدار المتناسب مع السرعة هو الزخم، p = mv، وتغيّره يساوي حاصل ضرب القوة في زمن تأثيرها — قانون نيوتن الثاني. سلّط قوة ثابتة على جسمين متماثلين يتحركان بسرعتين v و2v: يحتاج الأسرع إلى ضعف الزمن ليتوقف، ولأن سرعته الابتدائية والمتوسطة تضاعفت معًا، تصبح مسافة الكبح أكبر أربع مرات. والشغل المطلوب هو القوة مضروبة في المسافة، أي أربعة أضعاف، والطاقة الحركية تُعرَّف بأنها هذا الشغل.

يستخدم مثال أبسط السقوط الحر. كرة تُترك من ارتفاع متر واحد تصل إلى الأرض بسرعة v. ومن ارتفاع مترين لن تصل بسرعة 2v، لأنها تقطع المتر الثاني في زمن أقصر بكثير ويتبقى لها وقت أقل لاكتساب السرعة. الارتفاع يتناسب مع مربع سرعة الارتطام.

نظرية نافعة مع تصحيح نسبي

يعترف أحد الأجوبة بأنه لا يوجد استنتاج مُرضٍ تمامًا: ففي النهاية E ∼ v² هو ما تُظهره التجارب، وقد أنتج هذا التعريف للطاقة الحركية نظرية تعمل. ويلاحظ آخر أن ½mv² ليست دقيقة. فالنسبية الخاصة تعطي K = mc²(1/√(1−v²/c²) − 1)، وهي تقترب من ½mv² عند السرعات اليومية لكنها تتباعد كلما اقتربت v من سرعة الضوء. أما المقدار الخطي فله اسم بالفعل: الزخم.