Kinetik enerji neden hızla doğrusal değil karesel olarak artıyor?

2011'de Physics Stack Exchange'de sorulan bir soru hâlâ okunuyor. Hareket eden bir cismin kinetik enerjisi ½mv² ise, neden hızla doğrusal değil de hızın karesiyle artıyor? 1 m/s'den 2 m/s'ye çıkmak neden duruştan 1 m/s'ye çıkmaktan daha fazla enerji istiyor? Binlerce oy toplayan yanıtlar formülü keyfi bir kural değil, bir simetri sonucu olarak ele alıyor.

Kuvvet çarpı yol yerine simetri

En çok oy alan yanıt, sorunu „iş, kuvvet çarpı yoldur“ diye yeniden kurmanın gizemi yalnızca başka yere taşıdığını savunuyor: ardından işin neden kuvvet çarpı yol olduğu sorulabilir. Yanıta göre daha temel yol Galile dönüşümü altında değişmezliktir — fizik yasalarının hareket eden bir trende de perondakiyle aynı görünmesi ilkesi.

Yanıt kinetik enerjiyi somut biçimde tanımlıyor: kil topunun duvara çarptığında ürettiği ve termometreyle ölçülebilen ısı. İki özdeş topu yan yana fırlatmak ısıyı ikiye katlar, dolayısıyla enerji kütleyle orantılıdır. İki özdeş kil topunu v hızıyla kafa kafaya çarpıştırın: ikisi de durur ve 2mE(v) ısı açığa çıkar. Şimdi aynı çarpışmayı toplardan biriyle birlikte hareket eden bir trenden izleyin: o top duruyor başlar, diğeri 2v ile gelir ve yapışan ikili v hızıyla yoluna devam eder. Enerjinin korunumu mE(2v) = 2mE(v) + 2mE(v) verir, yani E(2v) = 4E(v). Hızın iki katına çıkması enerjiyi dört katına çıkarır.

Benzer bir argüman mekaniğin yerine statiği koyar: Yer yüzeyi yakınında potansiyel enerji yükseklikle doğrusaldır — Arşimet'in kaldıraç yasası — ve düşen cisimler düzgün ivmeyle hareket eder; bu yüzden kütle çarpı yükseklikle birlikte korunan büyüklük hızın karesidir. Huygens, çarpışan sarkaçlarla dinamik bir çarpışmanın kütle merkezini yükseltemeyeceğini gösterdi; bu, enerjinin korunumunun erken bir ifadesidir.

Doğrusal büyüklük momentumdur

Bir başka yüksek puanlı yanıt, yeni başlayanların sıkça karıştırdığı iki kavramı ayırıyor. Hızla orantılı büyüklük momentumdur: p = mv ve değişimi kuvvetin etki süresiyle çarpımına eşittir — Newton'un ikinci yasası. v ve 2v hızlarıyla hareket eden iki özdeş cisme sabit bir kuvvet uygulayın: hızlı olanın durması iki kat zaman alır ve hem başlangıç hem ortalama hızı iki katına çıktığı için frenleme mesafesi dört katına çıkar. Gereken iş kuvvet çarpı yoldur, yani dört kat büyüktür; kinetik enerji de tam olarak bu iş olarak tanımlanır.

Daha basit bir örnek serbest düşüşü kullanır. Bir metreden bırakılan top yere v hızıyla çarpar. İki metreden bırakıldığında 2v ile çarpmaz, çünkü ikinci metreyi çok daha kısa sürede geçer ve hız kazanmak için daha az zamanı kalır. Yükseklik, çarpma hızının karesiyle orantılıdır.

İşleyen bir teori ve görelilik düzeltmesi

Bir yanıt tam tatmin edici bir türetme olmadığını kabul ediyor: sonuçta E ∼ v² deneylerin gösterdiği şeydir ve kinetik enerjiyi böyle tanımlamak işleyen bir teori üretti. Bir diğeri ½mv²'nin kesin olmadığını not ediyor. Özel görelilik K = mc²(1/√(1−v²/c²) − 1) verir; bu ifade günlük hızlarda ½mv²'ye yaklaşır ama v ışık hızına yaklaştıkça ayrışır. Doğrusal büyüklüğün ise zaten bir adı var: momentum.