מדוע האנרגיה הקינטית גדלה עם ריבוע המהירות ולא באופן ליניארי

שאלה שהועלתה ב-Physics Stack Exchange ב-2011 עדיין מושכת קוראים. אם האנרגיה הקינטית של גוף נע היא ½mv², מדוע היא גדלה עם ריבוע המהירות ולא בקו ישר? מדוע האצה מ-1 מ'/שנ' ל-2 מ'/שנ' עולה יותר אנרגיה מאשר מ-מנוחה ל-1 מ'/שנ'? התשובות, שצברו אלפי הצבעות, מציגות את הנוסחה לא ככלל שרירותי אלא כתוצאה של סימטריה.

סימטריה במקום כוח כפול דרך

התשובה בעלת הדירוג הגבוה ביותר טוענת שניסוח הבעיה כ„עבודה שווה לכוח כפול דרך“ רק מעביר את התעלומה למקום אחר: אפשר לשאול מדוע עבודה היא כוח כפול דרך. הדרך היסודית יותר, לדבריה, היא אי-תלות גלילית — העיקרון שלפיו חוקי הפיזיקה נראים זהים ברכבת נעה ובפלטפורמה.

התשובה מגדירה אנרגיה קינטית באופן מוחשי: החום שכדור חימר מפיק כאשר הוא מתנגש בקיר, שאפשר למדוד במדחום. זריקה של שני כדורים זהים זה לצד זה מכפילה את החום, ולכן האנרגיה פרופורציונלית למסה. התנגשות חזיתית של שני כדורי חימר זהים במהירות v עוצרת את שניהם ומשחררת 2mE(v) של חום. עכשיו צפו באותה התנגשות מרכבת שנעה יחד עם אחד הכדורים: הכדור הזה מתחיל ממנוחה, השני מגיע במהירות 2v, והזוג המודבק ממשיך במהירות v. שימור אנרגיה נותן mE(2v) = 2mE(v) + 2mE(v), כלומר E(2v) = 4E(v). הכפלת המהירות מכפילה את האנרגיה פי ארבעה.

טיעון קרוב מחליף מכניקה בסטטיקה: אנרגיה פוטנציאלית סמוך לפני כדור הארץ ליניארית בגובה — חוק המנוף של ארכימדס — וגופים נופלים נעים בתאוצה אחידה, ולכן הגודל הנשמר לצד מסה כפול גובה הוא ריבוע המהירות. הויגנס הראה באמצעות מטוטלות מתנגשות שמרכז המסה אינו יכול להתרומם מהתנגשות דינמית — ניסוח מוקדם של שימור האנרגיה.

תנע הוא הגודל הליניארי

תשובה נוספת בעלת דירוג גבוה מפרידה בין שני מושגים שמתחילים נוטים לערבב. הגודל הפרופורציונלי למהירות הוא תנע, p = mv, והשינוי שלו שווה לכוח כפול משך פעולתו — החוק השני של ניוטון. הפעילו כוח קבוע על שני גופים זהים הנעים במהירויות v ו-2v: לזה המהיר יידרש פי שניים זמן כדי לעצור, ומכיוון שגם מהירותו ההתחלתית וגם הממוצעת הוכפלו, מרחק הבלימה יהיה גדול פי ארבעה. העבודה הנדרשת היא כוח כפול דרך, כלומר גדולה פי ארבעה — והאנרגיה הקינטית מוגדרת בדיוק כעבודה הזו.

המחשה פשוטה יותר משתמשת בנפילה חופשית. כדור שנופל ממטר פוגע בקרקע במהירות v. מגובה שני מטרים הוא לא יגיע במהירות 2v, מפני שהוא עובר את המטר השני בזמן קצר בהרבה ונותר לו פחות זמן לצבור מהירות. הגובה פרופורציונלי לריבוע מהירות הפגיעה.

תיאוריה שימושית עם תיקון יחסותי

אחת התשובות מודה שאין הוכחה מספקת לחלוטין: בסופו של דבר E ∼ v² הוא מה שהניסויים מראים, והגדרה כזו של אנרגיה קינטית הניבה תיאוריה שעובדת. תשובה אחרת מציינת ש-½mv² אינו מדויק. תורת היחסות הפרטית נותנת K = mc²(1/√(1−v²/c²) − 1), שמתקרבת ל-½mv² במהירויות יומיומיות אך מתרחקת ככל ש-v מתקרב למהירות האור. ולגודל הליניארי כבר יש שם — תנע.