GPT-5.6-მა პრომპტით დახურა 30-წლიანი ხარვეზი კონვექსულ ოპტიმიზაციაში

r/math-ის ფორუმზე გამოქვეყნებული პოსტის მიხედვით, GPT-5.6 Sol Pro-მ ერთ, 148-წუთიან სესიაში მოგვცა კონვექსული ოპტიმიზაციის იმ სირთულის შედეგის მეორე ნახევარი, რომელიც 1996 წლიდან ღია იყო. პრეპრინტის ავტორის თქმით, მტკიცება ფორმალურადაა შემოწმებული Lean-ში და შედეგს ჯერ რეცენზია არ გაუვლია.

რა იყო რეალურად ღია

საქმე ეხება დეტერმინისტულ ნულოვანი რიგის კონვექსულ ოპტიმიზაციას. ალგორითმს შეუძლია მოითხოვოს ნებისმიერი წერტილი R^d-ის ერთეულ ბურთში და მიიღოს მხოლოდ კონვექსული, 1-ლიპშიცის ფუნქციის ზუსტი მნიშვნელობა — გრადიენტის გარეშე — თუმცა სხვა მხრივ არავითარი შეზღუდვა არ აქვს არც გამოთვლებზე და არც მეხსიერებაზე. ასეთი, მხოლოდ ფუნქციის მნიშვნელობაზე დაფუძნებული ამოცანები მაშინ ჩნდება, როცა მიზნობრივი ფუნქცია ფიზიკური ექსპერიმენტით ან სიმულატორით ფასდება; ბუნებრივი კითხვაა, რამდენი გამოძახებაა ფუნდამენტურად საჭირო. 1996 წელს პროტასოვმა შემოგვთავაზა ალგორითმი, რომლის მიხედვითაც d² რიგის გამოძახება საკმარისია. ამის შესაბამისი ქვედა შეფასება კი არ არსებობდა: ყველაზე ძლიერი მანამდე გამოსაყენებელი შედეგი, Ω(d), მემკვიდრეობით მოდიოდა უფრო ძლიერი პირველი რიგის მოდელიდან, სადაც გრადიენტი ხელმისაწვდომია — და ეს d-ში წრფივ ხარვეზს ტოვებდა, ისე რომ დანამდვილებით არ ვიცოდით, ეხმარება თუ არა გრადიენტი საერთოდ. მოდელის მიერ წარმოდგენილი მტკიცება ამ ხარვეზს ხურავს: ვერც ერთი ალგორითმი ვერ მოახერხებს d² რიგზე უკეთეს შედეგს, ანუ პროტასოვის მეთოდი ოპტიმალურია.

ათგვერდიანი პრომპტი, 148 წუთი

ავტორი, რომელიც კალიფორნიის უნივერსიტეტში, ბერკლიში, სამრეწველო ინჟინერიისა და ოპერაციათა კვლევის მასწავლებელია, ამ ამოცანაზე წელიწადზე მეტი ხნის განმავლობაში ეპიზოდურად მუშაობდა და GPT-5.4-სა და GPT-5.5-ს წარუმატებლად სცადა. მას შემდეგ, რაც OpenAI-მა Cycle Double Cover-ის მტკიცების შესახებ განაცხადა, მან დაახლოებით ათი გვერდის სიგრძის პრომპტი დაწერა იმავე სტილში — ის პრეპრინტის ბოლოს არის მიმაგრებული — და კვადრატული ქვედა შეფასება d⁻⁴ რიგის სიზუსტით მოითხოვა. 148 წუთიანი შეუწყვეტელი მუშაობის შემდეგ მოდელმა წარმოადგინა მტკიცება, რომელიც კვადრატულ განზომილებიან დამოკიდებულებას d⁻³ რიგის სიზუსტით ამოხსნის. ავტორმა მტკიცება თავად გადაამოწმა და Lean-ში ფორმალურად დაამოწმა. კონსტრუქცია — აფინური ფუნქციების მაქსიმუმი — მჭიდროდ უკავშირდება იმას, რაც ნემიროვსკისა და იუდინის მჭიდრო შეფასების საფუძველშია პირველი რიგის კონვექსული ოპტიმიზაციისთვის.

რას ნიშნავს ეს კვლევისთვის

პრეპრინტი, Lean-ის რეპოზიტორია, სრული პრომპტი და საწყისი ჩატების ჟურნალები პოსტიდანვეა ხელმისაწვდომი. ავტორი მტკიცების მასშტაბის შეფასებაში ფრთხილადაა: მტკიცება კონვექსულ გეომეტრიაში ფუნდამენტურად ახალ ტექნიკას არ შემოაქვს და, მისი არგუმენტით, თუ შედეგი არსებული მეთოდებით მიღწევადია, თანამედროვე AI სისტემებიც მიაღწევენ მას. ის არ მიიჩნევს, რომ მათემატიკოსები ზედმეტნი გახდებიან, მაგრამ ამბობს, რომ აზრს დაკარგავს მარტივ და ზომიერად რთულ ამოცანებზე მუშაობა და მკვლევრებს ის ამოცანები დარჩებათ, სადაც ნამდვილად ახალი იდეებია საჭირო. კომენტატორები იმავე მოდელის მსგავს შედეგებზე საუბრობენ, მათ შორის საბიდუსის თავსებადობის ჰიპოთეზის მტკიცებაზე და შეცდომისგან დამცავი კოდების ერთ ღია ამოცანაზე — ორივე arXiv-ზე გამოქვეყნებული და Lean-ში ფორმალიზებული. ხარჯებზე კითხვაზე ავტორი ამბობს, რომ პროექტი გამოწერის 20-დან 200 დოლარამდე დაუჯდა, მოდელის გამოყენების მთლიანი დრო კი დაახლოებით თხუთმეტ საათს არ აღემატება.