Чому кінетична енергія зростає як квадрат швидкості, а не лінійно

Питання, опубліковане на Physics Stack Exchange у 2011 році, досі збирає читачів. Якщо кінетична енергія рухомого тіла дорівнює ½mv², чому вона зростає як квадрат швидкості, а не лінійно? Чому розгін від 1 м/с до 2 м/с коштує більше енергії, ніж від спокою до 1 м/с? Відповіді, що зібрали тисячі голосів, розглядають формулу не як довільне правило, а як наслідок симетрії.

Симетрія замість сили на відстань

Відповідь із найбільшою кількістю голосів стверджує, що переформулювання задачі як «робота дорівнює силі, помноженій на відстань» лише переносить загадку: далі можна спитати, чому робота — це сила на відстань. Фундаментальніший шлях, на думку автора, — галілеєва інваріантність, принцип, за яким закони фізики однакові і в потязі, що рухається, і на платформі.

Відповідь визначає кінетичну енергію конкретно: це тепло, яке кулька з глини виділяє, вдаряючись у стіну, і яке вимірюють термометром. Якщо кинути дві однакові кульки поруч, тепла виділиться вдвічі більше, тож енергія пропорційна масі. Зіштовхніть дві однакові глиняні кульки назустріч зі швидкістю v — обидві зупиняться, виділивши 2mE(v) тепла. Тепер подивіться на те саме зіткнення з потяга, що рухається разом з однією кулькою: вона починає зі стану спокою, друга налітає зі швидкістю 2v, а зліплена пара рухається далі зі швидкістю v. Закон збереження енергії дає mE(2v) = 2mE(v) + 2mE(v), тобто E(2v) = 4E(v). Подвоєння швидкості вчетверо збільшує енергію.

Споріднений аргумент замінює механіку статикою: потенціальна енергія поблизу поверхні Землі лінійна за висотою — закон важеля Архімеда — а падаючі тіла рухаються рівноприскорено, тому величина, що зберігається разом із добутком маси на висоту, є квадратом швидкості. Гюйгенс на маятниках, що зіштовхуються, показав, що динамічне зіткнення не може підняти центр мас, — раннє формулювання збереження енергії.

Імпульс — це лінійна величина

Інша відповідь із високим рейтингом розділяє два поняття, які початківці часто плутають. Величина, пропорційна швидкості, — це імпульс, p = mv, а його зміна дорівнює добутку сили на час її дії, тобто другому закону Ньютона. Прикладіть сталу силу до двох однакових тіл, що рухаються зі швидкостями v і 2v: швидшому потрібно вдвічі більше часу, щоб зупинитися, а оскільки і початкова, і середня швидкість подвоєні, гальмівний шлях буде вчетверо довшим. Потрібна робота — це сила на відстань, тож вона вчетверо більша, а кінетична енергія визначається саме як ця робота.

Простіша ілюстрація використовує вільне падіння. Кинутий з одного метра м'яч приземляється зі швидкістю v. З двох метрів він не впаде зі швидкістю 2v, бо другий метр пролітає значно швидше й має менше часу, щоб набрати швидкість. Висота пропорційна квадрату швидкості удару.

Робоча теорія з релятивістською поправкою

Одна з відповідей визнає, що цілком задовільного виведення немає: зрештою E ∼ v² — це те, що показують експерименти, і саме таке визначення дало теорію, яка працює. Інша зауважує, що ½mv² не є точним. Спеціальна теорія відносності дає K = mc²(1/√(1−v²/c²) − 1), що наближається до ½mv² за звичайних швидкостей, але розходиться, коли v наближається до швидкості світла. Лінійна ж величина вже має назву — імпульс.