نموذج GPT-5.6 يغلق بطلب واحد فجوة عمرها 30 عامًا في التحسين المحدب

يشير منشور على منتدى r/math إلى أن GPT-5.6 Sol Pro أنتج النصف الناقص من نتيجة في تعقيد التحسين المحدب كانت مفتوحة منذ عام 1996، وذلك في جلسة واحدة استمرت 148 دقيقة. ويقول مؤلف المسودة المرفقة إن الحجة جرى التحقق منها رسميًا في Lean، وإن النتيجة لم تخضع بعد لمراجعة الأقران.

ما الذي كان مفتوحًا فعلًا

المسألة تتعلق بالتحسين المحدب الحتمي من الرتبة الصفرية. يمكن للخوارزمية أن تستعلم عن أي نقطة في كرة الوحدة في R^d ولا تتلقى سوى القيمة الدقيقة لدالة محدبة تحقق شرط ليبشيتز بثابت 1 — من دون تدرجات — وهي غير مقيّدة في المقابل لا بالحساب ولا بالذاكرة. وتظهر هذه المسائل المعتمدة على قيمة الدالة وحدها عندما تُقاس دالة الهدف عبر تجربة فيزيائية أو محاكاة، والسؤال الطبيعي هو كم عدد التقييمات المطلوب مبدئيًا. وفي عام 1996 قدّم بروتاسوف خوارزمية تُظهر أن رتبة d² من التقييمات تكفي. أما الحد الأدنى المقابل فكان غائبًا: فالنهاية الأقوى القابلة للتطبيق آنذاك، Ω(d)، كانت موروثة من النموذج الأقوى من الرتبة الأولى حيث تتوافر التدرجات، ما ترك فجوة خطية في d ومن دون يقين بأن التدرجات تساعد أصلًا. والبرهان الذي قدّمه النموذج يغلق هذه الفجوة: لا تستطيع أي خوارزمية أن تتفوق على رتبة d² من التقييمات، أي أن طريقة بروتاسوف مثلى.

طلب من عشر صفحات و148 دقيقة

عمل المؤلف، وهو محاضر في الهندسة الصناعية وبحوث العمليات في جامعة كاليفورنيا في بيركلي، على المسألة بشكل متقطع نحو عام، وجرّب GPT-5.4 وGPT-5.5 من دون نجاح. وبعد أن أعلنت OpenAI عن برهانها لفرضية تغطية الرسم البياني المزدوجة بالدوائر، كتب طلبًا من نحو عشر صفحات بالأسلوب نفسه — وهو مرفق في نهاية المسودة — وطلب الحد الأدنى التربيعي بدقة من رتبة d⁻⁴. وبعد 148 دقيقة من العمل المتواصل أعاد النموذج برهانًا يثبّت الاعتماد التربيعي على البُعد بدقة من رتبة d⁻³. وقد راجع المؤلف الحجة بنفسه وأثبتها رسميًا في Lean. والبناء المستخدم — قيمة عظمى لدوال تآلفية — وثيق الصلة بالبناء الذي يقوم عليه الحد المحكم عند نيميروفسكي ويودين للتحسين المحدب من الرتبة الأولى.

ماذا يعني ذلك للبحث

المسودة ومستودع Lean والطلب الكامل وسجلات المحادثة الأصلية متاحة عبر روابط المنشور. ويتحفظ المؤلف بشأن حجم الادعاء: فالبرهان لا يقدّم تقنيات جديدة جوهريًا في الهندسة المحدبة، وهو يرى أنه إذا كانت نتيجة ما في متناول الأساليب القائمة فإن أنظمة الذكاء الاصطناعي الحالية ستصل إليها أيضًا. ولا يتوقع أن يصبح علماء الرياضيات غير ضروريين، لكنه يقول إن العمل على المسائل السهلة أو المتوسطة الصعوبة سيفقد معناه، وستبقى للباحثين المسائل التي تحتاج فعلًا إلى أفكار جديدة. ويشير معلّقون إلى نتائج مماثلة للنموذج نفسه، منها برهان فرضية التوافق لسابيدوسي ومسألة مفتوحة في الشيفرات المصححة للأخطاء، وكلاهما منشور على arXiv مع صياغات رسمية في Lean. وعن التكلفة يقدّر المؤلف المشروع بما بين عشرين ومئتي دولار من وقت الاشتراك، على ألا يتجاوز إجمالي استخدام النموذج نحو خمس عشرة ساعة.