Ինչո՞ւ կինետիկ էներգիան աճում է արագության քառակուսով, ոչ թե գծային

2011-ին Physics Stack Exchange-ում տրված հարցը դեռ ընթերցվում է. ինչո՞ւ ½mv² կինետիկ էներգիան աճում է արագության քառակուսով, ոչ թե գծային։ Ինչո՞ւ 1 մ/վ-ից 2 մ/վ արագացումը ավելի թանկ է, քան դադարից 1 մ/վ-ն։ Հազարավոր ձայներ հավաքած պատասխանները բանաձևը դիտարկում են որպես համաչափության հետևանք։

Համաչափություն՝ ուժի և ճանապարհի փոխարեն

Ամենաբարձր վարկանիշ ունեցող պատասխանը պնդում է, որ խնդիրը «աշխատանքը ուժի և ճանապարհի արտադրյալն է» ձևով վերաձևակերպելը միայն տեղափոխում է առեղծվածը. հետո կարելի է հարցնել, թե ինչու է աշխատանքը ուժի և ճանապարհի արտադրյալը։ Ավելի հիմնարար ուղին Գալիլեյի ինվարիանտությունն է՝ սկզբունքը, որ ֆիզիկայի օրենքները շարժվող գնացքում նույնն են, ինչ հարթակում։

Պատասխանը կինետիկ էներգիան սահմանում է կոնկրետ՝ դա ջերմությունն է, որ կավե գնդակն արձակում է պատին բախվելիս և որը չափում են ջերմաչափով։ Երկու նույնական գնդակ կողք կողքի նետելը կրկնապատկում է ջերմությունը, ուստի էներգիան համաչափ է զանգվածին։ Երկու նույնական կավե գնդակ v արագությամբ դեմ առ դեմ բախեք՝ երկուսն էլ կանգ են առնում և արձակվում է 2mE(v) ջերմություն։ Հիմա նույն բախմանը նայեք գնացքից, որը շարժվում է գնդակներից մեկի հետ. այդ գնդակը սկսում է դադարից, մյուսը հասնում է 2v արագությամբ, և կպած զույգը շարունակում է v արագությամբ։ Էներգիայի պահպանումը տալիս է mE(2v) = 2mE(v) + 2mE(v), այսինքն՝ E(2v) = 4E(v)։ Արագության կրկնապատկումը էներգիան քառապատկում է։

Նմանատիպ փաստարկը մեխանիկան փոխարինում է ստատիկայով. Երկրի մակերևույթի մոտ պոտենցիալ էներգիան գծային է բարձրությամբ՝ Արքիմեդեսի լծակի օրենքը, իսկ ընկնող մարմինները շարժվում են հավասարաչափ արագացմամբ, ուստի զանգվածի ու բարձրության հետ պահպանվող մեծությունը արագության քառակուսին է։ Հյուգենսը ցույց տվեց, որ դինամիկ բախումը չի բարձրացնում զանգվածների կենտրոնը։

Իմպուլսը գծային մեծությունն է

Մեկ այլ բարձր գնահատված պատասխան առանձնացնում է երկու հասկացություն, որ սկսնակները հաճախ շփոթում են։ Արագությանը համաչափ մեծությունը իմպուլսն է՝ p = mv, և նրա փոփոխությունը հավասար է ուժի և ազդման ժամանակի արտադրյալին՝ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը։ Հաստատուն ուժ կիրառեք v և 2v արագությամբ շարժվող երկու նույնական մարմինների վրա. ավելի արագը կանգ է առնում երկու անգամ ավելի երկար ժամանակում, և քանի որ և՛ սկզբնական, և՛ միջին արագությունը կրկնապատկված են, արգելակման ճանապարհը քառապատկվում է։ Անհրաժեշտ աշխատանքը ուժի և ճանապարհի արտադրյալն է, այսինքն՝ չորս անգամ ավելի մեծ, իսկ կինետիկ էներգիան հենց այդ աշխատանքն է սահմանվում։

Ավելի պարզ օրինակը օգտագործում է ազատ անկումը։ Մեկ մետրից գցված գնդակը գետնին հասնում է v արագությամբ։ Երկու մետրից այն չի հասնի 2v արագությամբ, որովհետև երկրորդ մետրը անցնում է շատ ավելի կարճ ժամանակում և արագություն հավաքելու ավելի քիչ ժամանակ է մնում։ Բարձրությունը համաչափ է հարվածի արագության քառակուսուն։

Աշխատող տեսություն՝ հարաբերականության ուղղումով

Պատասխաններից մեկը ընդունում է, որ լիովին բավարար արտածում չկա. ի վերջո E ∼ v²-ը փորձերի արդյունքն է, և կինետիկ էներգիայի այդպիսի սահմանումը տվեց աշխատող տեսություն։ Մեկ ուրիշը նշում է, որ ½mv²-ը ճշգրիտ չէ։ Հարաբերականության հատուկ տեսությունը տալիս է K = mc²(1/√(1−v²/c²) − 1), որը առօրյա արագություններում մոտենում է ½mv²-ին, բայց հեռանում է, երբ v-ն մոտենում է լույսի արագությանը։ Գծային մեծությունն էլ արդեն անուն ունի՝ իմպուլս։